Пифагоровы крекеры (перевод c английского)

Джордж Харт для Музея Математики

Мне очень понравился такой подход к математике и я решил перевести эту статью. Это мой вольный перевод. Оригинал статьи - https://momath.org/home/pythagorean-crackers/

Теорема Пифагора говорит, что в прямоугольном треугольнике со сторонами (катетами) A и B и гипотенузой С:

A2 + B2 = C2

Это предложение 47 в первой книге Евклида “Начала”. Часто это иллюстрируется с помощью конструкции из трех квадратов, которые размещены на сторонах прямоугольного треугольника. 

Выше проиллюстрирована теорема с частным случаем треугольника со сторонами 5-12-13, который представляет собой одну из примитивных Пифагоровой троек с натуральными числами:

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132

В примере выше это значит, что общее число крекеров в двух меньших квадратах (на катетах) равно общему числу крекеров в самом большом квадрате (на гипотенузе). Если представить математически идеальные крекеры, каждый с одинаковой площадью, то выходит иллюстрация теоремы Пифагора: площадь большого квадрата равна сумме площадей двух маленьких квадратов.

Пифагор специально обсуждал квадраты, но Евклид показал (в предложении 31 шестой книги “Начала”), что теорема распространяется на любую плоскую фигуру. К примеру, если собрать равносторонний треугольник на гипотенузе прямоугольного треугольника, его площадь будет равна сумме площадей двух меньших треугольников собранный на катетах. Эта теорема продемонстрирована выше с помощью треугольных крекеров для частного случая прямоугольного треугольника 3-4-5.

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52

Первое, что нужно отметить, это то, что треугольник с длиною стороны 3 содержит 9 крекеров, треугольник с длиною стороны 4 содержит 16 крекеров, и треугольник с длиною стороны 5 содержит 25 крекеров. Это квадратное соотношение между длиной и площадью не является специфическим для квадратов. Мы говорим, что девять - это “три в квадрате”, но картинка показывает, что мы могли бы также сказать, что девять - это “три в треугольнике”. Или, фактически, мы могли бы сказать “три в пятиугольнике”. Это верно для любой плоской фигуры: если вы увеличиваете ее длину на n, то площадь увеличивается на n2. (Я рад придерживаться традиционного термина “в квадрате”)

Таким образом, в общем можно выбрать любую плоскую фигуру и сделать три ее одинаковых копии увеличенных по сторонам прямоугольного треугольника. Нетрудно доказать, что площадь большого равна сумме площадей меньших. В примере выше синий треугольник является прямоугольным и три волнистые фигуры одинаковы по форме, поэтому площадь красной равна сумме площадей двух зеленых. Они не делают крекеры в такой форме, но если бы я испек свои собственные, то я знал бы, что это работает. Это потому, что маленький крекер имеет площадь пропорциональную A2, давайте назовем ее площадь kA2 (для некоторого коэффициента увеличения, k). Средний крекер имеет длину B/A, умноженную на длину маленького, поэтому его площадь масштабируется (B/A)2, и поэтому его площадь равна kB2. Точно так же, большой имеет площадь kC2. Легко доказать, что kA2 + kB2 = kC2 просто умножив теорему Пифагора на k.